[题目]已知在函数的所有切线中.有且仅有一条切线l与直线y=x垂直．(1)求a的值和切线l的方程,在任一点处的切线倾斜角为α.求α的取值范围．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知在函数的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y=x垂直．
（1）求a的值和切线l的方程；
（2）设曲线y=f（x）在任一点处的切线倾斜角为α，求α的取值范围．

【答案】
（1）解：f′（x）=x2﹣4x+a，由题意知，方程x2﹣4x+a=﹣1有两个相等的根，

∴△=（﹣4）2﹣4（a+1）=0，∴a=3

此时方程x2﹣4x+a=﹣1化为x2﹣4x+4=0，得x=2，

解得切点的纵坐标为，

∴切线l的方程为，即3x+3y﹣8=0

（2）解：设曲线y=f（x）上任一点（x，y）处的切线的斜率为k（由题意知k存在），

则由（1）知k=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1≥﹣1，

∴由正切函数的单调性可得α的取值范围为或

【解析】（1）f′（x）=x2﹣4x+a，由题意知，方程x2﹣4x+a=﹣1有两个相等的根，即可求a的值；求出切点坐标，可得切线l的方程；（2）由（1）知k=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1≥﹣1，即可求α的取值范围．

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