Question

【题目】已知函数

（1）求函数的极值；

（2）若时，函数有且只有一个零点，求实数的值；

（3若，对于区间上的任意两个不相等的实数，都有成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时，f (x)无极值；当时，f (x)有极小值，无极大值（2）（3）

【解析】（1）

当时， ，f (x)在上递增，f (x)无极值

当时， 时， ，f (x)递减；

时， ，f (x)递增，所以f (x)有极小值

综上，当时，f (x)无极值；当时，f (x)有极小值，无极大值

（2），则

因为，令，得，故h (x)在上递减，在上递增，所以h (x)有极小值

且 联立可得

令，得，故m (x)在上递增

又m (1) = 0，所以，即

（3）不妨令，因为0 < a < 1，则

由（1）可知，因为

所以

所以在[1，2]上递增

所以在[1，2]上恒成立，

即在[1，2]上恒成立 令，则，

所以