Question

【题目】已知三角形的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量 ， ，若 ．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面积为 ，求AC边的最小值，并指明此时三角形的形状．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，∵ ，∴（2a﹣c）cosB=bcosC．

由正弦定理得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，

整理得：2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC，

即2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∵sinA＞0，∴ ．

∵0＜B＜π，∴ ．

（2）解：由已知得： ，∴ac=4．

由余弦定理，b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac，当且仅当“a=c”时取等号．

∴AC的最小值为2，此时三角形为等边三角形

【解析】（1）利用两个向量共线的性质、正弦定理可得2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，由sinA＞0，求得 ，从而求得B的值．（2）由△ABC的面积为 ，求得ac=4，再利用余弦定理以及基本不等式求出AC的最小值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解正弦定理的定义(正弦定理:)，还要掌握余弦定理的定义(余弦定理:;;)的相关知识才是答题的关键．