Question

已知函数f(x)=

4x

x2+a

．请完成以下任务：
（Ⅰ）探究a=1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上的最大值．为此，我们列表如下

x	0	0.1	0.2	0.5	0.8	1	1.2	1.5	1.8	2	4	6	…
y	0	0.396	0.769	1.6	1.951	2	1.967	1.846	1.698	1.6	0.941	0.649	…

请观察表中y值随x值变化的特点，解答以下两个问题．
（1）写出函数f（x），在[0，+∞）上的单调区间；指出在各个区间上的单调性，并对其中一个区间的单调性用定义加以证明．
（2）请回答：当x取何值时f（x）取得最大值，f（x）的最大值是多少？
（Ⅱ）按以下两个步骤研究a=1时，函数f(x)=

4x

x2+a

，(x∈R)的值域．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）结合已知和以上研究，画出函数f（x）的大致图象，指出函数的值域．
（Ⅲ）己知a=-1，f（x）的定义域为（-1，1），解不等式f(4-3x)+f(x-

3

2

)＞0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）（1）利用图中表格的数据进行判断，然后利用定义法进行证明；
（2）把a=1代入f（x），然后对其进行求导，求出其单调区间，根据图象求出其最值；
（Ⅱ）（1）已知函数f(x)=

4x

x2+a

，(x∈R)，f（-x）=-f（x），从而证明；
（2）根据奇函数的性质，画出草图，然后求出其值域．
（Ⅲ）把a=-1，代入f（x），对其求导研究函数的单调性，利用f（x）的奇函数，对其进行求解；

解答：解：（Ⅰ）（1）从图中数据可以看出：当0＜x＜1时，y随x的增大而增大，当x≥1时，y随x的增大而减小，
∴函数f（x），在[0，+∞）上的单调增区间为[0，1]，单调减区间为[1，+∞），
现在对（1，+∞）上为减函数进行证明；1＜x₁＜x₂，
∴f（x）在[0，1]上为增函数，在[1，+∞]上为减函数
现在对（1，+∞）上为减函数进行证明；1＜x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=

4x1

x 2 1 +1

-

4x2

x 2 2 +1

=

4[(x2-x1)(x1x2-1)]

(  x 2 1 +1)( x 2 2 +1)

，
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（1，+∞）上为减函数，即证；
（2）∵a=1，∴f（x）=

4x

x2+1

，∴f′（x）=

4-4x2

(x2+1)2

，
∴当-1＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
当x＞1或x＜-1时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
由上可知，f（x）在x=1点取极大值，∵x＜0，∴f（x）＜0，
∴f（x）在x=1处取最大值，f_max（x）=f（1）=2；
（Ⅱ）（1）∵a=1，∴f（x）=

4x

x2+1

，
f（-x）=

-4x

(-x)2+1

=-f（x），f（x）为奇函数；
（2）∵当-1＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
当x＞1或x＜-1时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
∵x＜0，∴f（x）＜0，画出f（x）的草图：

可得f（x）≤2，f（x）值域为：[-2，2]
（Ⅲ）∵a=-1，f（x）的定义域为（-1，1），
∴f（x）=

4x

x2-1

，f′（x）=--

x2+1

(x2-1)2

＜0，f（x）为减函数，
∴f（-x）=-f（x），f（x）为奇函数，
∴f(4-3x)+f(x-

3

2

)＞0，
f（4-3x）＞-f（x-

3

2

），
∴f（4-3x）＞f（

3

2

-x），∵f（x）为减函数，
∴-1＜4-3x＜

3

2

-x＜1，
∴

5

3

＞x＞

5

4

∴不等式解集为：（

5

4

，

5

3

）

点评：此题主要考查函数的奇偶性和单调性，利用导数求函数的单调性，利用函数的图象求函数的值域，此题是一道综合题，考查的知识点比较多．