Question

（2013•成都模拟）若函数f（x）在给定区间M上，存在正数t，使得对于任意x∈M，有x+t∈M，且f（x+t）≥f（x），则称f（x）为M上的t级类增函数，则以下命题正确的是（　　）

• A．函数f(x)=

  4

  x

  +x是(1，+∞)上的1级类增函数
• B．函数f（x）=|log₂（x-1）|是（1，+∞）上的1级类增函数
• C．若函数f(x)=sinx+ax为[

  π

  2

  ，+∞)上的

  π

  3

  级类增函数，则实数a的最小值为2
• D．若函数f（x）=x²-3x为[1，+∞）上的t级类增函数，则实数t的取值范围为[1，+∞）

Answer 1

分析：在A中，f（x+1）-f（x）=

4

x+1

+x+1-

4

x

-x=

4

x+1

-

4

x

+1≥0在（1，+∞）上不成立；在B中，f（x+1）-f（x）=|log₂x|-|log₂（x-1）|≥0在（1，+∞）上不成立；在C中，函数f（x）=sinx+ax为[

π

2

，+∞）上的

π

3

级类增函数，故

3

2

cosx+

π

3

a≥

1

2

sinx，所以实数a的最小值不为2；在D中，由f（x）=x²-3x为[1，+∞）上的t级类增函数，能导出实数t的取值范围为[1，+∞）．

解答：解：∵f（x）=

4

x

+x，
∴f（x+1）-f（x）=

4

x+1

+x+1-

4

x

-x
=

4

x+1

-

4

x

+1≥0在（1，+∞）上不成立，
故A不正确；
∵f（x）=|log₂（x-1）|，
∴f（x+1）-f（x）=|log₂x|-|log₂（x-1）|≥0在（1，+∞）上不成立，
故B不正确；
∵函数f（x）=sinx+ax为[

π

2

，+∞）上的

π

3

级类增函数，
∴sin（x+

π

3

）+a（x+

π

3

）≥sinx+ax，
∴sinxcos

π

3

+cosxsin

π

3

+ax+

π

3

a≥sinx+ax，
∴

3

2

cosx+

π

3

a≥

1

2

sinx，
当x=

π

2

时，

π

3

a≥

1

2

，a≥

3

2π

，
∴实数a的最小值不为2，故C不正确；
∵f（x）=x²-3x为[1，+∞）上的t级类增函数，
∴（x+t）²-3（x+t）≥x²-3x，
∴2tx+t²-3t≥0，
t≥3-2x∈[1，+∞），
故D成立．
故选D．

点评：本题考查命题的真假判断，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．