Question

如图已知抛物线的焦点坐标为，过的直线交抛物线于两点，直线分别与直线：相交于两点．

(1)求抛物线的方程；
(2)证明△ABO与△MNO的面积之比为定值．

Answer 1

（1）；（2）证明过程详见解析.

解析试题分析：本题主要考查抛物线、直线的方程，以及直线与抛物线的位置关系，突出解析几何的基本思想和方法的考查：如数形结合思想、坐标化方法等.第一问，利用抛物线的标准方程，利用焦点坐标求出，代入即可；第二问，讨论直线垂直和不垂直轴2种情况，当直线垂直于轴时，2个三角形相似，面积比为定值，当直线不垂直于轴时，设出直线的方程，设出四个点坐标，利用直线与抛物线相交列出方程组，消参得到方程，利用两根之积得为定值，而面积比值与有关，所以也为定值.
试题解析：（1）由焦点坐标为 可知
所以,所以抛物线的方程为                     5分
（2）当直线垂直于轴时，与相似，
所以,                        7分
当直线与轴不垂直时，设直线AB方程为,
设，，，，
解整理得，                      9分
所以,                                        10分
,
综上                               12分
考点：1.抛物线的标准方程；2.直线方程；3.根与系数关系；4.三角形面积公式.