Question

已知椭圆：（）的右焦点，右顶点,右准线且．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）动直线：与椭圆有且只有一个交点，且与右准线相交于点，试探究在平面直角坐标系内是否存在点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）；（2）.

解析试题分析：（1）利用椭圆的右准线方程为，及联立方程组求得、，从而得出椭圆的方程；（2）联立方程组消去得到关于的一元二次方程，利用判别式，得出，由椭圆的对称性知，妨设点，利用推出，又联立程组可求得的值.
试题解析：（1）由题意，，，，，由得.
椭圆C的标准方程为.                                 5分
（2）由得：，
，即，
,,即.    8分
假设存在点满足题意，则由椭圆的对称性知，点应在轴上，不妨设点.
又，，，若以为直径的圆恒过定点，
则+=恒成立，
故，
即.                                                            12分
存在点适合题意，点与右焦点重合，其坐标为（1,0）.           13分
考点：椭圆的性质，直线与椭圆的关系，向量的数量积.