Question

如图，△BCD是等边三角形，AB=AD，∠BAD=90°，将△BCD沿BD折叠到△BCD的位置，使得AD⊥C′B．
（l）求证：AD⊥AC′；
（2）若M、N分别为BD，C′B的中点，求二面角N-AM-B的正弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由∠BAD=90°，得AD⊥AB，又C′B⊥AD，得AD⊥平面C′AB，由此能证明AD⊥AC′．
（2）以A为原点，AB、AD、AC′所在直线为x，y，z轴，建系A-xyz，利用向量法能求出二面角N-AM-B的正弦值．

解答： （1）证明：∵∠BAD=90°，∴AD⊥AB，
又C′B⊥AD，且AB∩C′B=B，∴AD⊥平面C′AB，
∵AC′?面C′AB，∴AD⊥AC′．
（2）解：∵△BC′D是等边三角形，AB=AD，∠BAD=90°，
不妨设AB=1，则BC′=C′D=BD=

2

，
连结C′M，则C′M⊥BD，又AM⊥BD，且AM∩C‘M=M，
∴BD⊥平面C′AM，∴C′A⊥BD，
又C′A⊥AD，AD∩BD=D，
∴C′A⊥平面ABD，
在Rt△C′AM中，CA′=

C′M2-AM2

=1，
以A为原点，AB、AD、AC′所在直线为x，y，z轴，建系A-xyz，
则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），
C′（0，0，1），M（

1

2

，

1

2

，0），N（

1

2

，0，

1

2

），

AM

=(

1

2

，

1

2

，0)，

AN

=(

1

2

，0，

1

2

)，
设面ANM的法向量

m

=(x，y，z)，
又平面BAM的法向量

m

=（x，y，z），
则

AM • m =x+y=0 AN • m =x+z=0

，取x=1，得

m

=(1，-1，-1)，
又平面BAN的法向量

n

=(0，0，1)，
∴cos＜

m

，

n

＞=-

3

3

，
∴二面角N-AM-B的正弦值为

6

3

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．