Question

已知平面向量

a

=（

3

，-1），

b

=（

1

2

，

3

2

），若存在不同时为零的实数k和t，使

x

=

a

+（t²-3）

b

，

y

=-k

a

+t

b

且

x

⊥

y

．
（1）试求函数关系式k=f（t）；
（2）若t∈（0，+∞）时，不等式k≥

1

2

t²+

1

4

mt恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,函数恒成立问题

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用向量模的计算公式、数量积定义、向量垂直与数量积的关系即可得出；
（2）当t∈（0，+∞）时，不等式k≥

1

2

t²+

1

4

mt恒成立，即当t∈（0，+∞）时，

1

2

t3-

3

2

t≥

1

2

t²+

1

4

mt恒成立，化为m≤2t²-2t-6，利用二次函数的单调性求出2t²-2t-6的最小值即可．

解答： 解：（1）∵向量

a

=（

3

，-1），

b

=（

1

2

，

3

2

），
∴|

a

|=

( 3 )2+(-1)2

=2，|

b

|=

( 1 2 )2+( 3 2 )2

=1．

a

•

b

=

3

2

-

3

2

=0．
又

x

⊥

y

．
∴

x

•

y

=[

a

+（t²-3）

b

]•[-k

a

+t

b

]
=-k

a

2+t(t2-3)

b

2+[t-k(t2-3)]

a

•

b

=-k

a

2+t(t2-3)

b

2=0，
∴-2k+t（t²-3）=0，
∴k=

1

2

t3-

3

2

t．
（2）当t∈（0，+∞）时，不等式k≥

1

2

t²+

1

4

mt恒成立，即当t∈（0，+∞）时，

1

2

t3-

3

2

t≥

1

2

t²+

1

4

mt恒成立，
化为m≤2t²-2t-6，∵2t²-2t-6=2(t-

1

2

)2-

13

2

≥-

13

2

．当t=

1

2

时，取等号．
∴m≤-

13

2

．
∴实数m的取值范围是(-∞，-

13

2

]．

点评：本题考查了向量模的计算公式、数量积定义、向量垂直与数量积的关系、分离参数法、不等式的转化方法、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．