Question

已知数列{2^n-1•a_n}的前n项和S_n=9-6n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=n•（3-log₂

|an|

3

），设数列{

1

bn

}的前n项和为T_n，求使T_n＜

m

6

恒成立的m的最小整数值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）当n=1时，T₁=

1

b1

=

1

3

，当n≥2时，

1

bn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂项求和法能求出使Tn＜

m

6

恒成立的m的最小整数值．

解答： 解：（1）n=1时，2⁰•a₁=S₁=3，解得a₁=3，
当n≥2时，2^n-1•a_n=S_n-S_n-1=-6，
∴a_n=

-3

2n-2

．
∴通项公式a_n=

3，n=1 - 3 2n-2 ，n≥2

．
（2）当n=1时，b₁=3-log₂1=3，
∴T₁=

1

b1

=

1

3

，当n≥2时，b_n=n（n+1），
∴

1

bn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=

1

3

+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=

5

6

-

1

n+1

＜

5

6

，
故使Tn＜

m

6

恒成立的m的最小整数值为5．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查最小整数值的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．