Question

设m＞3，对于项数为m的有穷数列{a_n}，令b_k为a₁，a₂，…，a_k（k≤m）中最大值，称数列{b_n}为{a_n}的“创新数列”．例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．考查正整数1，2，…，m（m＞3）的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{c_n}，则创新数列为等差数列的{c_n}的个数为

 

．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：分类讨论：当d=0时，{e_m}为常数列，满足条件；数列{c_n}是首项为m的任意一个排列，共有

A

m-1 m-1

个数列．当d=1时，符合条件的数列{e_m}只能是1，2，3…m，此时数列{c_n}是1，2，3…m，有1个．d≥2时，{e_m} 不存在．由此得出结论．

解答： 解：设数列{c_n}的创新数列为{e_m}，因为e_m为前m个自然数中最大的一个，所以e_m=m．
若 {e_m}为等差数列，设公差为d，
因为 e_k+1≥e_k （k=1，2，3…m-1），所以 d≥0．且d∈N^*．
当d=0时，{e_m}为常数列，满足条件，即为数列 e_m=m，
此时数列{c_n}是首项为m的任意一个排列，共有

A

m-1 m-1

个数列；
当d=1时，符合条件的数列{e_m}只能是1，2，3…m，此时数列{c_n}是1，2，3…m，有1个；
当d≥2时，∵e_m=e₁+（m-1）d≥e₁+2（m-1）=e₁+m+m-2 又 m＞3，∴m-2＞0．
∴e_m＞m 这与 e_m=m矛盾，所以此时{e_m} 不存在．
综上满足条件的数列{c_n}的个数为（m-1）!+1个．
故答案为：（m-1）!+1．

点评：本题主要考查等差关系的确定，等比关系的确定，创新数列的定义，属于中档题．