Question

如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD的边BC垂直于圆O所在的平面，且AB=2，AD=EF=1．
（Ⅰ）设CD的中点为M，求证：EM∥平面DAF；
（Ⅱ）求三棱锥B-CME的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（I）证明四边形EFDM为平行四边形，从而EM∥DF，可得EM∥平面DAF；
（II）证明EN⊥平面ABCD，利用V_B-CME=V_E-CMB，结合锥体体积公式可算出三棱锥B-CME的体积．

解答： （I）证明：∵AB∥EF，EF=

1

2

AB且CD∥AB，CD=AB，M为CD中点
∴EF∥DM且EF=DM                             …（1分）
∴四边形EFDM为平行四边形                         …（3分）
∴EM∥DF，且DF?平面DAF
∴EM∥平面DAF                                   …（5分）
（II）解：取OB的中点N，连接NE，△EOF是正三角形，∴∠BOE=

π

3

∴△BOE是正三角形，则EN⊥OB                 …（6分）
又CB⊥平面AFEB，
∴EN⊥CB
∵OB∩CB=B，…（7分）
∴EN⊥平面ABCD                             …（8分）
又EN=

3

2

                                      …（9分）
∴V_B-CME=V_E-CMB=

1

3

S_△CMB×EN=

3

12

              …（11分）
∴三棱锥B-CME的体积为

3

12

                    …（12分）

点评：本题在特殊的四棱锥中证明线面平行，并求三棱锥的体积，着重考查了空间的线面垂直、线面平行的判定与性质，锥体体积的求法等知识，属于中档题．