Question

某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成，每个工人每小时能加工5个A型零件或者3个B型零件，现在把这些工人分成两组同时工作（分组后人数不再进行调整），每组加工同一种型号的零件．设加工A型零件的工人数为x名（x∈N^*）．
（1）设完成A、B型零件加工所需的时间分别为f（x）、g（x）小时，写出f（x）与g（x）的解析式；
（2）当x取何值时，完成全部生产任务的时间最短？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）生产150件产品，需要A，B型零件分别为450、150个，即可写出f（x）与g（x）的解析式；
（2）完成全部生产任务所需时间h（x），是f（x）与 g（x）的较大者；故令f（x）≥g（x），得1≤x≤32

1

7

，求得当1≤x≤32时，f（x）＞g（x）；当33≤x≤49时，f（x）＜g（x）．所以h(x)=

90 x ，(x∈N*，  1≤x≤32) 50 50-x ，  (x∈N*，33≤x≤49)

，求得函数h（x）的最小值即可．

解答： 解：（1）生产150件产品，需要A，B型零件分别为450、150个
∴f(x)=

450

5x

=

90

x

(x∈N，1≤x≤49)，g(x)=

150

3(50-x)

=

50

50-x

(x∈N，1≤x≤49)…5分
（2）设完成全部生产任务所需时间为h（x），则h（x）为f（x）与g（x）的较大者
令f（x）≥g（x），即

90

x

≥

50

50-x

解得1≤x≤32

1

7

所以h(x)=

90 x ，(x∈N*，  1≤x≤32) 50 50-x ，  (x∈N*，33≤x≤49)

…7分
①当1≤x≤32时，h(x)=

90

x

单调递减，∴当x=32时，h(x)min=

45

16

小时…9分
②当33≤x≤49时，h(x)=

50

50-x

单调递增，∴当x=33时，h(x)min=

50

17

小时…11分
由于h（32）＜h（33），∴h（x）在[1，49]上的最小值为h（32）
故为了最短时间内完成全部生产任务，x应取32…13分．

点评：本题主要考查了函数的最值、不等式、导数及其应用等基础知识，也考查了分段函数的应用，以及运算求解和应用意识，属于中档题．