Question

若函数f（x）=log_a（2-log_ax）在[

1

4

，4]上单调递减，则正实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：函数的性质及应用

分析：对a分类讨论，利用复合函数的单调性和对数函数的单调性即可判断出．

解答： 解：∵函数f（x）=log_a（2-log_ax）在[

1

4

，4]上单调递减，
∴当0＜a＜1时，2-log_ax＞0且2-loga

1

4

＜2-loga4在[

1

4

，4]上成立，∴

loga4＜2 loga 1 4 ＜2

，解得0＜a＜

1

2

，满足条件；
当a＞1时，2-log_ax＞0且2-loga

1

4

＞2-loga4在[

1

4

，4]上成立，∴

loga4＜2 loga 1 4 ＜2

，解得a＞2，满足条件．
综上可得：ad的取值范围是0＜a＜

1

2

或a＞2．
故答案为：0＜a＜

1

2

或a＞2．

点评：本题考查了复合函数的单调性和对数函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，属于中档题．