Question

已知f（x）=

1+lnx

x

．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=x²-2x+k有实数解，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）当n∈N^*，n≥2时，求证：nf（n）＜2+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求出f′（x）=-

lnx

x2

，从而得函数f（x）在区间（0，1）上为增函数；在区间（1，+∞）为减函数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）的极大值为f（1）=1，令g（x）=x²-2x+k，得函数 g（x）取得最小值g（1）=k-1，由g（x）=x²-2x+k有实数解，k-1≤1，进而得实数k的取值范围．
（Ⅲ）由f（1+

1

n

）＜f（1）=1，得1+ln（1+

1

n

）＜1+

1

n

，从而lnn=ln2-ln1+ln3-ln2+…+lnn=ln（n-1）＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

，即1+lnn＜2+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

，问题得以解决．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=-

lnx

x2

，
∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，f′x）＜0；
∴函数f（x）在区间（0，1）上为增函数；在区间（1，+∞）为减函数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）的极大值为f（1）=1，
令g（x）=x²-2x+k，
所以当x=1时，函数 g（x）取得最小值g（1）=k-1，
又因为方程g（x）=x²-2x+k有实数解，那么k-1≤1，即k≤2，
所以实数k的取值范围是：k≤2．
（Ⅲ）∵函数f（x）在区间（1，+∞）为减函数，
而1+

1

n

＞1，（n∈N^*，n≥2），
∴f（1+

1

n

）＜f（1）=1，
∴1+ln（1+

1

n

）＜1+

1

n

，
即ln（n+1）-lnn＜

1

n

，
∴lnn=ln2-ln1+ln3-ln2+…+lnn-ln（n-1）＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

，
即1+lnn＜2+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

，
而n•f（n）=1+lnn，
∴nf（n）＜2+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

结论成立．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，不等式的证明，是一道综合题．