Question

已知函数f（x）=kx（k≠0），且满足f（x+1）•f（x）=x²+x，
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）为定义域上的增函数，h（x）=

f(x)+1

f(x)-1

（f（x）≠1），则是否存在实数m使得h（x）的定义域和值域都为[m，m+1]？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）已知g（x）=（2a-1）x²+3x-3-a，若F（x）=f（x+1）f（x）+g（x）在[-1，1]上存在零点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据条件，利用待定系数法法，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）为定义域上的增函数，确定f（x）=x，然后利用分式函数的单调性建立方程关系即可得到结论．
（Ⅲ）求出F（x）的表达式，结合二次函数的图象和性质即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=kx（k≠0），且满足f（x+1）•f（x）=x²+x，
∴f（x+1）•f（x）=k（x+1）•kx=x²+x，
即k²（x²+x）=x²+x，
∴k²=1，解得k=1或-1，
即函数f（x）的解析式f（x）=±x；
（Ⅱ）若函数f（x）为定义域上的增函数，则f（x）=x，
即h（x）=

f(x)+1

f(x)-1

=

x+1

x-1

=

x-1+2

x-1

=1+

2

x-1

（f（x）≠1），在（1，+∞）和（-∞，1）上分别单调递减，
假设存在实数m使得h（x）的定义域和值域都为[m，m+1]，
若m＞1，则

f(m)=m+1 f(m+1)=m

，即

m+1 m-1 =m+1 m+2 m =m

．
∴

m-1=1 m+2=m2

，即

m=2 m=2或m=-1

此时m=2满足条件．
由若m＜1，则

f(m)=m+1 f(m+1)=m

，即

m+1 m-1 =m+1 m+2 m =m

．
∴

m-1=1 m+2=m2

，即

m=2 m=2或m=-1

此时m=2不满足条件．
综上存在m=2，满足条件；
（Ⅲ）∵f（x+1）•f（x）=x²+x，g（x）=（2a-1）x²+3x-3-a，
∴F（x）=f（x+1）f（x）+g（x）=x²+x+（2a-1）x²+3x-3-a=2ax²+4x-3-a，
若a=0，F（x）=4x-3=0，解得x=

3

4

∈[-1，1]，此时满足条件．
若a≠0，若F（x）在[-1，1]上存在零点，
若判别式△=16+8a（3+a）=0．即a²+3a+2=0，解得a=-1或-2，此时对称轴x=-

4

2×2a

=-

1

a

=1或

1

2

∈[-1，1]，满足条件．
若判别式△＞0，即a＞-1或a＜-2时，
若F（x）在[-1，1]上存在一个零点，则F（1）F（-1）≤0，即（a+1）（a-7）≤0，即-1≤a≤7，
此时-1＜x≤7，
若F（x）在[-1，1]上存在2个零点，
若a＜0，则

F(1)≤0 F(-1)≤0

，即

a+1≤0 a-7≤0

，即

a≤-1 a≤7

，此时a≤-1，此时a＜-2，
若a＞0，则

F(1)≥0 F(-1)≥0

，即

a+1≥0 a-7≥0

，解得a≥7，
综上a≤-2或a≥-1．

点评：本题主要考查抽象函数的应用，以及二次函数图象和性质，利用分式函数和二次函数的性质是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．