Question

斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长为a，侧棱与底面所成的角为60°，且侧面ABB₁A₁垂直于底面．
（Ⅰ）判断B₁C与AC₁是否垂直，并证明你的结论；
（Ⅱ）求三棱柱的全面积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连接BC₁，作B₁D⊥AB，由已知条件得B₁C⊥BC₁，B₁D⊥面ABC，D为AB的中点，由此能证明B₁C⊥AC₁
（Ⅱ）由已知条件推导出sin∠B1BC=

15

4

，sin∠A1AC=

15

4

，由此能求出三棱柱的全面积．

解答： 解：（Ⅰ）B₁C与AC₁垂直．
证明如下：
连接BC₁，由题意知B₁C⊥BC₁
作B₁D⊥AB，由条件知B₁D⊥面ABC，
又侧棱与底面所成的角为60°，
∴D为AB的中点，
∴CD⊥AB，CD为CB₁在底面ABC上的射影
又B₁C⊥AB，∴B₁C⊥面ABC₁，∴B₁C⊥AC₁
（Ⅱ）由题意知cos∠B1BC=cos∠B1BA•cos∠CBA=

1

4

，
∴sin∠B1BC=

15

4

同理可得sin∠A1AC=

15

4

∴S_侧=AB×BB₁×sin60°+BC×BB₁×sin∠B₁BC+AC×AA₁×sin∠A₁AC
=

3

2

a2+2×a2×

15

4

=

3 + 15

2

a2
∴S全=2S底+S侧=2×

3

4

a2+

3 + 15

2

a2=

2 3 + 15

2

a2．

点评：本题考查两直线是否存在的判断与证明，考查三棱柱的全面积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．