Question

在一个边长为100cm的正方形ABCD中，以A为圆心半径为90cm做一四分之一圆，分别与AB，AD相交，在圆弧上取一点P，PE垂直BC于E点，PF垂直CD于F点．
问：当∠PAB等于多少时，矩形PECF面积最大？

Answer 1

考点：基本不等式

专题：函数的性质及应用

分析：设∠PAB=x，0≤x≤

π

2

，设矩形的面积为f（x），则f（x）=（100-90sinx）（100-90cosx）=100[81sinxcosx-90（sinx+cosx）+100）]，
令t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，则t∈[1，

2

]，可得sinxcosx=

t2-1

2

．于是f（x）=g（t）=100[81×

t2-1

2

-90t+100]=4050(t-

10

9

)2+950，根据t∈[1，

2

]和二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：设∠PAB=x，0≤x≤

π

2

，设矩形的面积为f（x），
则f（x）=（100-90sinx）（100-90cosx）=100[81sinxcosx-90（sinx+cosx）+100）]，
令t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，则t∈[1，

2

]．
∴t²=（sinx+cosx）²=1+2sinxcosx，解得sinxcosx=

t2-1

2

．
∴f（x）=g（t）=100[81×

t2-1

2

-90t+100]=50（81t²-180t+119）=4050(t-

10

9

)2+950，
∵t∈[1，

2

]，
∴当t=

2

时，面积f（x）最大，此时∠PAB=

π

4

．

点评：本题考查了矩形的面积、同角三角函数基本关系式、二次函数的单调性，考查了换元法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．