Question

下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

用最小二乘法求线性同归方程系数公式

b

=

n i=1 xiyi-n . x . y

n i=1 x 2 i -n . x 2

，

a

=

.

y

-

b

.

x

．
（Ⅰ）请画出表中数据的散点图；
（Ⅱ）请根据图表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程

y

=

b

x+

a

；
（Ⅲ）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（Ⅱ）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+4×5+6×4.5=66.5）

Answer 1

考点：线性回归方程

专题：应用题,概率与统计

分析：（1）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图．
（2）根据所给的这组数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据，代入求系数b的公式，求得结果，再把样本中心点代入，求出a的值，得到线性回归方程．
（3）根据上一问所求的线性回归方程，把x=100代入线性回归方程，可估计生产100吨甲产品的生产能耗，即可求出降低标准煤的吨数．

解答： 解：（1）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图．
（2）由对照数据，计算得

4

i=1

xi2=86，

4

i=1

xiyi=66.5，

.

x

=4.5，

.

y

=3.5，
∴回归方程的系数为b=0.7，a=0.35，
∴所求线性回归方程为y=0.7x+0.35
（3）由（2）求出的线性回归方程，估计生产100吨甲产品的生产能耗为0.7×100+0.35=70.35（吨），
∴降低90-70.35=19.65吨标准煤．

点评：本题考查线性回归方程，两个变量之间的关系，除了函数关系，还存在相关关系，通过建立回归直线方程，就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间整体关系的了解．