Question

求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：
（1）a=5，c=4，焦点在x轴上的椭圆；
（2）a=2

5

，经过点A（2，-5），焦点在y轴上的双曲线．
（3）顶点在原点，焦点在y轴上，曲线上一点M（m，-3）到焦点的距离为5的抛物线．

Answer 1

考点：抛物线的标准方程,椭圆的标准方程,双曲线的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出b，即可得出椭圆方程；
（2）设双曲线方程为

y2

20

-

x2

b2

=1，代入点A（2，-5），可得双曲线方程；
（3）根据题意可设抛物线的方程为：x²=-2py，利用抛物线的定义求得p的值即可．

解答： 解：（1）∵a=5，c=4，∴b=3，
∴焦点在x轴上的椭圆方程为

x2

25

+

y2

9

=1；
（2）设双曲线方程为

y2

20

-

x2

b2

=1，代入点A（2，-5），可得b=4，
∴双曲线方程为

y2

20

-

x2

16

=1；
（3）∵抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点（m，-3），
∴设抛物线的方程为：x²=-2py（p＞0），
∴其准线方程为：y=

p

2

，
∵抛物线上一点P（m，-3）到焦点F的距离等于5，
∴由抛物线的定义得：|PF|=

p

2

+3=5，
∴p=4，
∴所求抛物线的方程为x²=-8y．

点评：本题考查圆锥曲线方程，考查待定系数法，突出考查抛物线的定义的理解与应用，属于中档题．