Question

已知几何体A-BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．

（1）求此几何体的体积V的大小；
（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；
（3）求二面角A-ED-B的正弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,棱柱、棱锥、棱台的体积,二面角的平面角及求法

专题：计算题

分析：（1）通过已知条件可知，AC⊥底面BCED，再求出梯形BCED的面积，根据三棱锥的体积公式即可求出体积．
（2）先找到异面直线所成的角，可过B作DE的平行线，则角ABF便是异面直线所成的角，根据条件求出即可．
（3）先找出二面角的平面角，过C作CG⊥ED，并交ED于G，连接AG，则∠AGC即是所找的二面角的平面角，根据条件求出即可．

解答： 解：（1）∵∠ACE，∠ACB都是直角，∴AC⊥BC，AC⊥CE，CB∩CE=C，CB?平面BCED，CE?平面BCED；
∴AC⊥平面BCED．
∴V=

1

3

SBCED•AC=

1

3

×12×4=16．
（2）取CE中点F，连接BF，则BF∥DE，则∠ABF即异面直线DE与AB所成的角，连接AF．
在△ABF中，AB=4

2

，BF=2

5

，AF=2

5

；
∴由余弦定理得：cos∠ABF=

BF2+AB2-AF2

2BF•AB

=

20+32-20

2×2 5 ×4 2

=

10

5

；
异面直线DE与AB所成角的余弦值是

10

5

．
（3）过C作CG⊥DE，交DE于G，连接AG，∵AC⊥平面BCED，ED?平面BCED，∴AC⊥ED；
∴ED⊥平面ACG，AG?平面ACG，∴ED⊥AG，∴∠AGC是二面角A-ED-B的平面角；
在Rt△ACG中，AC=4，CG=4×

4

20

=

8 5

5

，∠ACG=90°；
∴tan∠AGC=

4

8 5 5

=

5

2

，sin∠AGC=

5

3

．

点评：求异面直线所成角时，通过作另一直线的平行线，找出这个角，然后把它放在一个三角形里去求即可．求二面角时，先找到二面角的平面角，然后把它放在一个三角形里去求即可．