Question

已知

a

=（

3

，-1），

b

=（

1

2

，

3

2

）．
（1）证明：

a

⊥

b

；
（2）若存在实数k和t，满足

x

=（t，2）

a

+（t²-t-5）

b

，

y

=-k

a

+4

b

，且

x

⊥

y

，试求出k关于t的关系式k=f（t）．
（3）根据（2）的结论，试求出k=f（t）在（-2，2）上的最小值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：函数的性质及应用,平面向量及应用

分析：（1）由

a

•

b

=0判定

a

⊥

b

；
（2）由

x

⊥

y

得

x

•

y

=0，求出k关于t的关系式；
（3）由k关于t的关系式k=f（t），利用基本不等式求出t∈（-2，2）时的最小值．

解答： 解：（1）∵

a

•

b

=

3

×

1

2

-1×

3

2

=0，
∴

a

⊥

b

；
（2）∵

x

⊥

y

，
∴

x

•

y

=0，
即-4k（t+2）+4（t²-t-5）=0；
∴k=

t2-t-5

t+2

（t≠2）；
（3）∵k=

t2-t-5

t+2

=

(t+2)2-5(t+2)+1

t+2

=（t+2）+

1

t+2

-5，
设t+2=m，∵t∈（-2，2），∴m∈（0，4）；
∴k=m+

1

m

-5在m∈（0，1）上是减函数，在m∈（1，4）上是增函数；
∴当m=1时，k_min=-3，此时t=-1．

点评：本题考查了平面向量的应用问题和求函数的最值问题，解题时应根据平面向量的数量积判定两向量垂直，由两向量垂直，它们的数量积为0，是综合题．