Question

已知函数f（x）=ax2-2x+3．
（1）当a＞1时，求f（x）的单调区间，并指明增减性；
（2）当x∈[0，2]时有最小值8，求a的值．

Answer 1

考点：复合函数的单调性,幂函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用复合函数的单调性的性质能求出当a＞1时，f（x）的单调区间．
（2）由x∈[0，2]，知t=x²-2x+3=（x-1）²+1∈[1，2]，由此根据a的取值范围进行分段讨论，能求出a=8．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax2-2x+3，
t=x²-2x+3是开口向上，对称轴为x=1的抛物线，
∴t=x²-2x+3的单调递增区间为[1，+∞），单调递减区间为（-∞，1]．
∴当a＞1时，f（t）=a^t是增函数，
由复合函数的单调性知：
f（x）的单调递增区间为[1，+∞），
单调递减区间为（-∞，1]．
（2）∵x∈[0，2]，∴t=x²-2x+3=（x-1）²+1∈[1，2]，
∵当x∈[0，2]时有最小值8，
∴0＜a＜1时，f（x）_min=a²=8，解得a=±2

2

，不舍题意，舍去，
a＞1时，f（x）_min=a=8．
综上所述，a=8．

点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．