Question

分析方程sinx-cos²x+a=0在x∈[0，2π）的解的个数．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：三角函数的求值

分析：首先根据sinx-cos²x+a=0，可得a=-sinx+cos²x=

5

4

-(sinx+

1

2

)2，令f（x）=

5

4

-(sinx+

1

2

)2；然后画出函数f（x）=

5

4

-(sinx+

1

2

)2的图象，最后根据a的取值判断函数与直线的公共点的情况，进而判断出方程sinx-cos²x+a=0在x∈[0，2π）的解的个数即可．

解答： 解：根据sinx-cos²x+a=0，
可得a=-sinx+cos²x=

5

4

-(sinx+

1

2

)2，
令f（x）=

5

4

-(sinx+

1

2

)2，画出函数f（x）=

5

4

-(sinx+

1

2

)2的图象如下：

①a＜-1或a＞

5

4

时，方程无解；
②a=-1时，方程有1个解；
③-1＜a＜-1或a=

5

4

时，方程有2个解；
④1≤a＜

5

4

时，方程有4个解．

点评：本题主要考查了根的存在性以及根的个数判断，以及函数的图象和性质，还考查了数形结合法的运用，属于中档题，数形结合是数学解题中常用的思想方法，它能使使复杂的问题简单化．