Question

已知多面体ABCDFE中，四边形ABCD为矩形，AB∥EF，AF⊥BF，平面ABEF⊥平面ABCD，O、M分别为AB、FC的中点，且AB=2，AD=EF=1．
（Ⅰ）求证：AF⊥平面FBC；
（Ⅱ）求证：OM∥平面DAF；
（Ⅲ）设平面CBF将几何体EFABCD分成的两个锥体的体积分别为V_F-ABCD，V_F-CBE，求V_F-ABCD：V_F-CBE的值．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：

分析：（Ⅰ）欲证AF⊥平面FBC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AF与平面FBC内两相交直线垂直，而BC⊥AF，BF⊥AF，BC∩BF=B，满足定理条件；
（Ⅱ）欲证OM∥平面DAF，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证OM与平面DAF内一直线平行即可，取FD中点N，连接MN、AN，易得OM∥ON，找出了定理的条件；
（Ⅲ）过F作FG⊥AB与G，由题意可得：FG⊥平面ABCD，求出V_F-ABCD=

2

3

FG，V_F-CBE=V_C-BFE=

1

6

FG，即可得出结论．

解答： （Ⅰ）证明：∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB
BC?平面ABCD，而四边形ABCD为矩形∴BC⊥AB，
∴BC⊥平面ABEF∵AF?平面ABEF∴BC⊥AF
∵BF⊥AF，BC∩BF=B∴AF⊥平面FBC；
（Ⅱ）证明：取FD中点N，连接MN、AN，则MN∥CD，且MN=

1

2

CD，
又四边形ABCD为矩形，∴MN∥OA，且MN=OA
∴四边形AOMN为平行四边形，∴OM∥AN
又∵OM?平面DAF，AN?平面DAF∴OM∥平面DAF．      …（8分）
（Ⅲ）解：过F作FG⊥AB与G，由题意可得：FG⊥平面ABCD

∴V_F-ABCD=

1

3

S_矩形ABCD×FG=

2

3

FG
∵CB⊥平面ABEF，
∴V_F-CBE=V_C-BFE=

1

3

S_△BFE×CB=

1

3

•

1

2

EF•FG•CB=

1

6

FG，
∴V_F-ABCD：V_F-CBE=4：1         …（12分）

点评：本题主要考查了直线与平面垂直、直线与平面平行的判定，考查体积的计算考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想．