Question

O为坐标原点，平面内的向量

OA

=（1，7），

OB

=（5，1），

OM

=（6，3），点P（x，y）是线段OM上的一个动点．
（1）求x-2y的值；
（2）求

PA

•

PB

的取值范围；
（3）当

PA

•

PB

取最小值时，求∠APB的余弦值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用向量共线定理即可得出；
（2）利用数量积的坐标运算和二次函数的单调性即可得出；
（3）由（1）（2）即可得出．

解答： 解：（1）∵点P在线段OM上，∴

OP

与

OM

共线，
而

OM

=(6，3)，

OP

=(x，y)，
则3x=6y，∴x-2y=0．
（2）由（1）知

OP

=(2y，y)，
∵

PA

=(1-2y，7-y)，

PB

=(5-2y，1-y)，
∴

PA

•

PB

=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=5y2-20y+12=5(y-2)2-8．
∵点P在线段OM上，∴y∈[0，3]，
∴当y=2时

PA

•

PB

有最小值-8，当y=0时

PA

•

PB

有最大值12，
即

PA

•

PB

的取值范围为[-8，12]
（3）由（1）可知当y=2，x=4时

PA

•

PB

有最小值-8，此时P（4，2），
∴

PA

=(-3，5)，

PB

=(1，-1)．
∴

PA

•

PB

=-3-5=-8，|

PA

|=

34

，|

PB

|=

2

．
∴

PA

•

PB

=|

PA

||

PB

|cos∠APB，
∴cos∠APB=

-8

2 × 34

=-

4 17

17

．

点评：本题考查了向量共线定理、数量积的坐标运算和二次函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．