Question

设函数f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin²（x+

π

2

）．
（1）求f（x）的最小正周期和对称轴方程；
（2）当x∈[-

π

3

，

π

4

]时，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两角和差的正弦余弦公式、倍角公式可得f(x)=

3

sin(2x+

π

3

)+1．即可最小正周期T．利用2x+

π

3

=kπ+

π

2

，(k∈z)即可得出对称轴方程；
（2）由x∈[-

π

3

，

π

4

]，可得-

π

3

≤2x+

π

3

≤

5π

6

，再利用正弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）f（x）=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+2cos²x=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+1+cos2x
=

3

(

1

2

sin2x+

3

2

cos2x)+1
=

3

sin(2x+

π

3

)+1．
即f(x)=

3

sin(2x+

π

3

)+1．
∴最小正周期T=π．
由2x+

π

3

=kπ+

π

2

，(k∈z)得对称轴方程x=

kπ

2

+

π

12

，k∈z．
（2 ）∵x∈[-

π

3

，

π

4

]，∴-

π

3

≤2x+

π

3

≤

5π

6

，
∴-

3

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1．
∴f（x）的值域为[-

1

2

，

3

+1]．

点评：本题考查了两角和差的正弦余弦公式、倍角公式、三角函数的图象与性质，考查了计算能力，属于中档题．