Question

已知三点A、B、C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），（α≠

kπ

4

，k∈Z），若

AC

•

BC

=-1，则

1+sin2α-cos2α

1+tanα

的值为

 

．

Answer 1

考点：三角函数的化简求值,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值

分析：利用数量积的运算是可得sinα+cosα=

2

3

．再利用同角三角函数的平方关系可得sinαcosα=-

5

9

．再利用倍角公式、同角三角函数的商数关系即可得出．

解答： 解：

AC

=（cosα-3，sinα），

BC

=（cosα，sinα-3）．
∵

AC

•

BC

=-1，∴cosα（cosα-3）+sinα（sinα-3）=-1，
化为sinα+cosα=

2

3

．
∴

4

9

=(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα，
化为2sinαcosα=-

5

9

．
∴

1+sin2α-cos2α

1+tanα

=

2sin2α+2siαncosα

cosα+sinα cosα

=2sinαcosα=-

5

9

．
故答案为：-

5

9

．

点评：本题考查了数量积运算、同角三角函数基本关系式，属于基础题．