Question

数列{b_n}是等比数列，其前n项和为S_n=2ⁿ-k（k∈R）．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若a_n=log₂b_n+3，求数列{a_nb_n}的前项的和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：计算题

分析：（1）利用n≥2时，b_n=S_n-S_n-1，即可求数列{b_n}的通项公式；
（2）利用错位相减法，可求数列{a_nb_n}的前项的和T_n．

解答： 解：（1）由S_n=2ⁿ-k，得：n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=2^n-1
∵数列{b_n}是等比数列，b₁=2-k，
∴2-k=1，
∴k=1
∴b_n=2^n-1；
（2）a_n=log₂b_n+3=n+2，a_nb_n=（n+2）•2^n-1，
∴T_n=3•2⁰+4•2+5•2²+…+（n+2）•2^n-1，
∴2T_n=3•2+4•2²+5•2³+…+（n+2）•2ⁿ，
两式相减整理可得，T_n=（n+1）•2ⁿ+1．

点评：本题考查等比数列的通项，考查数列的求和，确定数列的通项，正确运用求和方法是关键．