Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁，AC₁⊥平面A₁BD，D为AC的中点．
（1）求证：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（2）在CC₁上是否存在一点E，使得∠BA₁E=45°，若存在，试确定E的位置，并求此时二面角A₁-BD-E的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出A₁B⊥AB₁，A₁B⊥B₁C₁，BB₁⊥B₁C₁，由此能够证明B1C1 ⊥平面ABB₁A 1 ．
（Ⅱ）设AB=BB₁=a，CE=x，由余弦定理求出x=

1

2

a，从而得到DE⊥平面A₁BD，进而得到平面A₁BD⊥平面BDE，由此求出二面角A₁-BD-E的大小为90°．

解答： （Ⅰ）证明：∵AB=BB 1 ，∴四边形ABB₁A₁为正方形，
∴A₁B⊥AB₁，（2分）
又∵AC₁⊥平面A₁BD，∴AC₁⊥A₁B，
∴A₁B⊥面AB₁C₁，∴A₁B⊥B₁C₁，（4分）
又在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥B₁C₁，
∴B1C1 ⊥平面ABB₁A 1 ．（5分）
（Ⅱ）解：设AB=BB₁=a，CE=x，
∵D为AC的中点，且AC₁⊥A₁D，∴A1B=A1 C1=

2

a，
又∵B₁C₁⊥平面ABB₁A₁，∴B₁C₁⊥A₁B₁，
∴B₁C₁=a，BE=

a2+x2

，A1E=

2a2+(a-x)2

=

3a2+x2-2ax

，
在△A₁BE中，由余弦定理得BE²=A₁B²+A₁E²-2A₁B•A₁Ecos45°，
即a2+x2=2a2+3a2+x2-2ax-2

3a2+x2-2ax

•

2

a•

2

2

，
∴

3a2+x2-2ax

=2a-x，x=

1

2

a，即E是CC₁的中点，（9分）
∵D、E分别为AC、CC₁的中点，∴DE∥AC₁，
∵AC₁⊥平面A₁BD，∴DE⊥平面A₁BD，
又∵DE?平面BDE，∴平面A₁BD⊥平面BDE．（11分）
故二面角A₁-BD-E的大小为90°．（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意合理地化空间问题为平面问题．