Question

已知曲线f（x）=ax-e^x（a＞0）．
（Ⅰ）求曲线在点（0，f（0））处的切线；
（Ⅱ）若存在实数x₀使得f（x₀）≥0，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到f′（0）的值，再求出点的坐标，由点斜式得到切线方程；
（Ⅱ）由导函数的符号确定函数的单调区间，从而求得函数的最大值，由最大值大于等于0求得a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax-e^x（a＞0），
∴f（0）=-1，则切点为（0，-1）．
f′（x）=a-e^x，f′（0）=a-1，
∴曲线在点（0，f（0））处的切线方程为：y=（a-1）x-1；
（Ⅱ）∵a＞0，由f′（x）＞0得，x＜lna，
由f′（x）＜0得，x＞lna，
∴函数f（x）在（-∞，lna）上单调递增，在（lna，+∞）上单调递减，
∴f（x）的最大值为f（lna）=alna-a．
∵存在x₀使得f（x₀）≥0，
∴alna-a≥0，
∴a≥e．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法，是中档题．