Question

设公差不为零的等差数列{a_n}的各项均为整数，S_n为其前n项和，且满足

a2a3

a1

=-

5

4

，S7=7．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）试求所有的正整数m，使得

am+1am+2

am

为数列{a_n}中的项．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：压轴题,等差数列与等比数列

分析：（1）先确定a₄=1，再根据

a2a3

a1

=-

5

4

得d=3或d=

3

8

，结合数列{a_n}的各项均为整数，求出公差，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）根据

am+1am+2

am

=

(am+3)(am+6)

am

=am+9+

18

am

，a_n=3n-11=3（n-4）+1，可得

am+1am+2

am

为数列{a_n}中的项，

18

am

必须是3的倍数，进而验证，可得所有的正整数m，使得

am+1am+2

am

为数列{a_n}中的项．

解答： 解：（1）因为{a_n}是等差数列，且S₇=7，而S7=

7(a1+a7)

2

=7a4，于是a₄=1．…（2分）
设{a_n}的公差为d，则由

a2a3

a1

=-

5

4

得

(1-2d)(1-d)

1-3d

=-

5

4

，
化简得8d²-27d+9=0，即（d-3）（8d-3）=0，解得d=3或d=

3

8

，
但若d=

3

8

，由a₄=1知不满足“数列{a_n}的各项均为整数”，故d=3．…（5分）
于是a_n=a₄+（n-4）d=3n-11．…（7分）
（2）因为

am+1am+2

am

=

(am+3)(am+6)

am

=am+9+

18

am

，a_n=3n-11=3（n-4）+1，…（10分）
所以要使

am+1am+2

am

为数列{a_n}中的项，

18

am

必须是3的倍数，
于是a_m在±1，±2，±3，±6中取值，
但由于a_m-1是3的倍数，所以a_m=1或a_m=-2．
由a_m=1得m=4；由a_m=-2得m=3． …（13分）
当m=4时，

am+1am+2

am

=

4×7

1

=a13；
当m=3时，

am+1am+2

am

=

1×4

-2

=a3．
所以所求m的值为3和4．…（16分）

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及前n项和的公式，解题的重点是要熟练掌握基本公式，并能运用公式，还要具备一定的运算能力．