Question

12．已知两点M（0，-5），N（4，3），给出下列曲线方程：①x+2y+1=0；②（x+1）²+（y+1）²=2；③$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；④$\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$．则曲线上存在点P满足|PM|=|PN|的方程的序号是②③．

Answer 1

分析 求出线段MN的垂直平分线方程，然后分别和题目给出的四条曲线方程联立，利用方程有、无解，从而判断给出的曲线上是否存在点P，使得|PM|=|PN|．

解答 解：问题可转化为线段MN的垂直平分线$y=-\frac{1}{2}x$与所列曲线存在交点的问题．
由x+2y+1=0与$y=-\frac{1}{2}x$平行，可得不存在点P满足|PM|=|PN|；
由$y=-\frac{1}{2}x$与（x+1）²+（y+1）²=2联立，可得$\frac{5}{4}{x}^{2}+x$=0，方程有解，可知存在点P满足|PM|=|PN|；
由$y=-\frac{1}{2}x$与$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$联立，可得$\frac{1}{2}{x}^{2}$=1，方程有解，可知存在点P满足|PM|=|PN|；
由$y=-\frac{1}{2}x$与$\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$联立，可得0=1，不成立，可知不存在点P满足|PM|=|PN|；
故答案为：②③．

点评 本题考查了曲线与方程，训练了线段的垂直平分线方程的求法，考查了利用方程有、无解判断两条曲线的位置关系，是中档题．