Question

6．已知f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x）-f（x）＞1，f（0）=2016，则不等式f（x）＞2017•e^x-1（其中e为自然对数的底数）的解集为（　　）

• A． （-∞，0）∪（0，+∞）
• B． （2017，+∞）
• C． （0，+∞）
• D． （0，+∞）∪（2017，+∞）

Answer 1

分析 设g（x）=e^-xf（x）+e^-x，利用导数性质得y=g（x）在定义域上单调递增，从而得到g（x）＞g（0），由此能求出f（x）＞2017•e^x-1的解集．

解答 解：设g（x）=e^-xf（x）+e^-x，
则g′（x）=-e^-xf（x）+e^-xf′（x）-e^-x=e^-x[f'（x）-f（x）-1]，
∵f（x）-f′（x）＞1，∴f（x）-f′（x）-1＞0，
∴g′（x）＞0，
∴y=g（x）在定义域上单调递增，g（0）=2017，
∵f（x）＞2017•e^x-1，∴e^-xf（x）＞2017-e^-x，
得到g（x）＞2017=g（0），
∴g（x）＞g（0），得x＞0，
∴f（x）＞2017•e^x-1的解集为（0，+∞），
故选：C．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，关键是利用已知条件适当构造新函数，利用函数的单调性求不等式的解，是中档题．