Question

14．已知a＞0且a≠1，则（a-1）b＜0是a^b＜1的（　　）

• A． 充要条件
• B． 必要而不充分条件
• C． 充分而不必要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 结合指数的运算性质，和实数的基本性质，分析“a^b＜1”⇒“（a-1）b＜0”和“a^b＜1”?“（a-1）b＜0”是否成立，进而根据充要条件的定义得到答案．

解答 解：若a^b＜1，
当0＜a＜1时，b＞0，此时（a-1）b＜0成立；
当a＞1时，b＜0，此时（a-1）b＜0成立；
故a^b＜1是（a-1）b＞0的必要条件；
若（a-1）b＜0，
∵a＞0且a≠1，
当0＜a＜1时，b＞0，此时a^b＜1，
当a＞1时，b＜0，此时a^b＜1，
故a^b＞1是（a-1）b＞0的充分条件；
综上所述：（a-1）b＜0是a^b＜1的充要条件；
故选：A．

点评 判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．