Question

6．已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和，S₃，S₉，S₆成等差数列．
（Ⅰ）求证：a₂，a₈，a₅成等差数列；
（Ⅱ）若a₁-a₄=3，求a₁+a₄+a₇+…a₃₁．

Answer 1

分析 （I）设等比数列{a_n}的公比为q≠1，由S₃，S₉，S₆成等差数列．可得2S₉=S₃+S₆，利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可证明．
（II）由2q⁶=1+q³，可得：q³=-$\frac{1}{2}$．又a₁-a₄=3，可得${a}_{1}（1-{q}^{3}）$=3，解得a₁．再利用等比数列前n项和公式即可得出．

解答 （I）证明：设等比数列{a_n}的公比为q≠1，∵S₃，S₉，S₆成等差数列．∴2S₉=S₃+S₆，
∴$\frac{2{a}_{1}（{q}^{9}-1）}{q-1}$=$\frac{{a}_{1}（{q}^{3}-1）}{q-1}$+$\frac{{a}_{1}（{q}^{6}-1）}{q-1}$，
化为：2q⁶=1+q³，
∴$2{a}_{1}{q}^{7}={a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{4}$，
∴2a₈=a₂+a₅．
∴a₂，a₈，a₅成等差数列．
（II）解：由2q⁶=1+q³，可得：q³=-$\frac{1}{2}$．
又a₁-a₄=3，∴${a}_{1}（1-{q}^{3}）$=3，∴${a}_{1}（1+\frac{1}{2}）=3$，解得a₁=2．
∴a₁+a₄+a₇+…a₃₁=$\frac{{a}_{1}[1-（{q}^{3}）^{11}]}{1-{q}^{3}}$=$\frac{2[1-（-\frac{1}{2}）^{11}]}{1-（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{1025}{1536}$．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．