Question

【题目】已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），点R（1，2）在抛物线C上．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点Q（1，1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B．若直线AR，BR分别交直线l：y=2x+2于M，N两点，求线段MN最小时直线AB的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵点R（1，2）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，

∴4=2p，解得p=2，

∴抛物线C的方程为y2=4x

（2）解：设A（x1，y1），B（x2y2），直线AB的方程为x=m（y﹣1）+1，m≠0，

由 ，消去x，并整理，得：y2﹣4my+4（m﹣1）=0，

∴y1+y2=4m，y1y2=4（m﹣1），

设直线AR的方程为y=k1（x﹣1）+2，

由 ，解得点M的横坐标xM= ，

又k1= = ，

∴xM= =﹣ ，

同理点N的横坐标xN=﹣ ，

|y2﹣y1|= =4 ，

∴|MN|=|xM﹣xN|= |﹣ + |=2 | |，

=8 =2 ，

令m﹣1=t，t≠0，则m=t=1，

∴|MN|=2 ≥ ，

即当t=﹣2，m=﹣1时，|MN|取最小值为 ，

此时直线AB的方程为x+y﹣2=0

【解析】（1）由点R（1，2）在抛物线C：y2=px（p＞0）上，求出p=2，由此能求出抛物线C的方程．（2）设A（x1 ， y1），B（x2y2），设直线AB的方程为x=m（y﹣1）+1，m≠0，设直线AR的方程为y=k1（x﹣1）+2，由已知条件推导出xM=﹣ ，xN=﹣ ，由此求出|MN|=2 ，再用换元法能求出|MN|的最小值及此时直线AB的方程．