Question

在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．
（Ⅰ）若a=2，b=

5

2

，求cosC的值；
（Ⅱ）若sinAcos²

B

2

+sinBcos²

A

2

=2sinC，且△ABC的面积S=

9

2

sinC，求a和b的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）由a+b+c=8，根据a=2，b=

5

2

求出c的长，利用余弦定理表示出cosC，将三边长代入求出cosC的值即可；
（Ⅱ）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，再利用正弦定理得到a+b=3c，与a+b+c=8联立求出a+b的值，利用三角形的面积公式列出关系式，代入S=

9

2

sinC求出ab的值，联立即可求出a与b的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵a=2，b=

5

2

，且a+b+c=8，
∴c=8-（a+b）=

7

2

，
∴由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

22+( 5 2 )2-( 7 2 )2

2×2× 5 2

=-

1

5

；
（Ⅱ）由sinAcos²

B

2

+sinBcos²

A

2

=2sinC可得：sinA•

1+cosB

2

+sinB•

1+cosA

2

=2sinC，
整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，
∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，
∴sinA+sinB=3sinC，
利用正弦定理化简得：a+b=3c，
∵a+b+c=8，
∴a+b=6①，
∵S=

1

2

absinC=

9

2

sinC，
∴ab=9②，
联立①②解得：a=b=3．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．