Question

1．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=na_n+n（n=1，2，3，…），等比数列{b_n}中，b₁=a₁，且b₂，b₃的等差中项为b₁．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列．
（2）请选择一个符合已知条件的且满足a₁≠a₂的数列{a_n}，并求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由n=1可得a₁=S₁，由条件可得a₁=1，再将n换为n-1，相减，运用等差数列的性质，即可得证；
（2）取a₂=2，则d=1，即有a_n=n，由等差数列的性质和等比数列的通项，可得公比q=1或-2，再由错位相减法和等比数列的求和公式，计算即可得到所求．

解答 （1）证明：由n=1可得a₁=S₁，
2S₁=a₁+1，可得a₁=1，
2S_n=na_n+n，可得2S_n-1=（n-1）a_n-1+n-1，（n≥2），
相减可得，2a_n=na_n-（n-1）a_n-1+1，
即有（n-2）a_n=（n-1）a_n-1-1，
再将n换为n-1可得（n-3）a_n-1=（n-2）a_n-2-1，
上面两式相减可得，（n-2）a_n+（n-2）a_n-2=2（n-2）a_n-1，
即为a_n+a_n-2=2a_n-1，（n＞2），
即有a_n-a_n-1=d（d为常数），
故数列{a_n}为等差数列；
（2）解：可取a₂=2，则d=1，
即有a_n=n，
由b₁=a₁，且b₂，b₃的等差中项为b₁．
可得2b₁=b₂+b₃，即为2=q+q²，（q为公比），
解得q=-2或1．
当q=1时，b_n=1，
前n项和T_n=$\frac{1}{2}$n（n+1）；
当q=-2，即有T_n=1•（-2）⁰+2•（-2）+3•（-2）²+…+n•（-2）^n-1，
-2T_n=1•（-2）+2•（-2）²+3•（-2）³+…+n•（-2）ⁿ，
两式相减可得，3T_n=1+（-2）+（-2）²+…+（-2）^n-1-n•（-2）ⁿ
=$\frac{1-（-2）^{n}}{1-（-2）}$-n•（-2）ⁿ，
化简可得，T_n=$\frac{1-（1+3n）•（-2）^{n}}{9}$．

点评 本题考查数列的通项和求和之间的关系，考查等差数列的定义和通项和求和公式的运用，同时考查等比数列的求和公式的运用，以及错位相减法求和，属于中档题．