Question

12．非空数集A如果满足：①0∉A；②若对?x∈A，有$\frac{1}{x}$∈A，则称A是“互倒集”．给出以下数集：
①{x∈R|x²+ax+1=0}；  
②{x|x²-4x+1＜0}；  
③{y|y=$\frac{lnx}{x}$，x∈[$\frac{1}{e}$，1）∪（1，e]}；
④{y|y=$\left\{\begin{array}{l}{2x+\frac{2}{5}，x∈[0，1）}\\{x+\frac{1}{x}，x∈[1，2]}\end{array}\right.$}．
其中“互倒集”的个数是（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 ①当-2＜a＜2时，原集合为空集；
②原集合化为{x|2-$\sqrt{3}$＜x＜2+$\sqrt{3}$}，2-$\sqrt{3}$＜$\frac{1}{x}$＜2+$\sqrt{3}$，即可判断出正误；
③．当x∈[$\frac{1}{e}$，1）时，y∈[-e，0），当x∈（1，$\frac{1}{e}$]时，y∈（0，$\frac{1}{e}$]，即可判断出正误；
④，y∈[$\frac{2}{5}$，$\frac{12}{5}$）∪[2，$\frac{5}{2}$]=[$\frac{2}{5}$，$\frac{5}{2}$]且$\frac{1}{y}$∈[$\frac{2}{5}$，$\frac{5}{2}$]，即可判断出正误．

解答 解：对于集合①．当-2＜a＜2时，为空集，不是互倒集；
对于集合②．即{x|2-$\sqrt{3}$＜x＜2+$\sqrt{3}$}，得$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$＜$\frac{1}{x}$＜$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$，得2-$\sqrt{3}$＜$\frac{1}{x}$＜2+$\sqrt{3}$，故集合②是互倒集；
对于集合③．当x∈[$\frac{1}{e}$，1）时，y∈[-e，0），当x∈（1，$\frac{1}{e}$]时，y∈（0，$\frac{1}{e}$]，不是互倒集；
对于集合④．y∈[$\frac{2}{5}$，$\frac{12}{5}$）∪[2，$\frac{5}{2}$]=[$\frac{2}{5}$，$\frac{5}{2}$]且$\frac{1}{y}$∈[$\frac{2}{5}$，$\frac{5}{2}$]，故集合④是互倒集．
故选：C．

点评 本题考查了集合的新定义“互倒集”、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．