Question

【题目】在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,所有棱长均为2，∠AA1D1=∠AA1B1=60°，∠D1A1B1=90°.

（1）求证:A1C⊥B1D1；

（2）求对角线AC1的长；

（3）求二面角C1﹣AB1﹣D1的平面角的余弦值的大小.

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；（2）；（3）.

【解析】

（1）根据题意，先证明B1D1⊥平面A1ACC1，再根据线面垂直推证线线垂直即可；

（2）由平面推证出为直角三角形，再用勾股定理求解即可；

（3）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再根据向量夹角的求解公式，即可求得.

（1）证明：∵在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，所有棱长均为2，

∴AD1=AB1=2，连结A1C1，B1D1，交于点O，连结AO，如下图所示：

∵∠AA1D1=∠AA1B1=60°，∠D1A1B1=90°.∴AO⊥B1D1，

∵四边形A1B1C1D1为正方形，∴B1D1⊥A1C1，

∴B1D1⊥平面A1ACC1，

∵A1C平面A1ACC1，

∴B1D1⊥A1C.

（2）在△AB1D1中，AO

又，AA1=2，

∴，∴AO⊥A1O，

∵AO⊥B1D1，∴AO⊥平面A1B1C1D1，

∴AO⊥OC1，

∴AC12.

（3）由（2）知AO⊥平面A1B1C1D1，

以点O为原点，OA1为x轴，OB1为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，

A(0,0,)，B1(0,,0)，C1(,0,0)，

(0,)，(,0,)，

设平面AB1C1的法向量

则，

取x=1，得(1,﹣1,﹣1)，

平面AB1D1的法向量(1,0，0)，

设二面角C1﹣AB1﹣D1的平面角为θ，

则cosθ.

∴二面角C1﹣AB1﹣D1的平面角的余弦值为.