Question

【题目】如图，一个湖的边界是圆心为的圆，湖的一侧有一条直线型公路，湖上有桥（是圆的直径）．规划在公路上选两个点，，并修建两段直线型道路，，规划要求：线段，上的所有点到点的距离均不小于圆的半径．已知点，到直线的距离分别为和（，为垂足），测得，，（单位：百米）．

（1）若道路与桥垂直，求道路的长；

（2）在规划要求下，和中能否有一个点选在处？并说明理由；

（3）在规划要求下，若道路和的长度均为（单位：百米），求当最小时，、两点间的距离．

Answer 1

【答案】（1）；（2），中不能有点选在点，理由详见解析；（3）.

【解析】

(1) 设BD与圆O交于M，连接AM，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，利用两直线垂直的条件得直线BP的方程,求解点P的坐标,再由两点间距离公式即可求解PB的长;

（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，求得Q的坐标，即可得到结论；

（3）设P（a，0），Q（b，0），则，，结合条件分析，可得b的最小值，由两点的距离公式，计算可得PQ．

设与圆交于，连接，

为圆的直径，可得，

即有，，，

以为坐标原点，为轴，建立直角坐标系，则，，.

（1）设点，，

则，

即，

解得，所以，；

（2）当时，上的所有点到原点的距离不小于圆的半径，设此时，

则，即，解得，，

由，在此范围内，不能满足，上所有点到的距离不小于圆的半径，

所以，中不能有点选在点；

（3）设，，由（1）（2）可得，，

由两点的距离公式可得，

当且仅当时，取得最小值15，

又，则，当最小时，，，．