Question

【题目】如图，在梯形ABCD中，，，，为梯形外一点，且平面.

（1）求证：平面；

（2）当二面角的平面角的余弦值为时，求这个四棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）梯形ABCD中，由线段关系及角度关系可证明.根据平面，可知，由线面垂直判定定理即可证明平面；

（2）在中由余弦定理求得，建立空间直角坐标系，设，写出各个点的坐标，并求得平面BDP的法向量和平面BCP的法向量，根据空间向量的数量积运算及二面角的平面角的余弦值为，即可求得的值，进而求得四棱锥的体积.

（1）证明：在梯形ABCD中，，，

，

.

，

，

，

.

平面ABCD，平面ABCD，

.

又，

平面ACP.

（2）在中，，

.

以点C为坐标原点，分别以CA，CB，CP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.

设，则，，，，，

则，.

设平面BDP的法向量，

则，即.取，得，

平面BCP的一个法向量.

二面角的平面角的余弦值为，，

解得，即，.