Question

【题目】如图①，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，△BCD是等边三角形.如图②，将△BCD沿BC折起，使平面BCD⊥平面ABC，记BC的中点为E，BD的中点为M，点F、N在棱AC上，且AF＝3CF，C.

（1）试过直线MN作一平面，使它与平面DEF平行，并加以证明；

（2）记（1）中所作的平面为α，求平面α与平面BMN所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）过作，交于，连结，推导出是的中点，从而，由此能证明平面平面．

（2）以为原点，为轴，为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值．

(1)过N作NG∥EF，交BC于G，连结MG，则平面MNG∥平面DEF.

理由如下：

∵EF∥NG，BC的中点为E，BD的中点为M，点F、N在棱AC上，且AF＝3CF，

C.

∴，

∴G是BE的中点，

∴MG∥DE，又DE∩EF＝E，MG∩NG＝G，

∴平面MNG∥平面DEF.

(2)以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过点B作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：

设BC＝2，则B(0，0，0)，D(1，0，)，M()，

A(0，2，0)，G(，0，0)，N(，，0)，

，，(0，0，，，0，

设平面BMN的法向量(x，y，z)，

则，取，得，，﹣1，

设平面GMN的法向量(x，y，z)，

则，取x＝1，得(1，﹣1，0)，

设平面α与平面BMN所成锐二面角的平面角为θ，

则cosθ.

∴平面α与平面BMN所成锐二面角的余弦值为.