Question

已知函数f(x)=

2x+3(x＜-1) x2(-1≤x≤1) x(x＞1).

（1）画出函数图象；
（2）求当f（x）=-7时x的值．
（3）讨论关于x方程f（x）=a（a∈R）的根的个数．

Answer 1

分析：（1）根据函数 f（x）的解析式，作出函数的图象如图．
（2）令f（x）=-7，可得

x＜-1 2x+3=-7

，解得x的值，从而得出结论．
（3）讨论关于x方程f（x）=a（a∈R）的根的个数，就等于函数y=f（x）的图象和直线y=a的交点的个数，结合函数f（x）的图象可得结论．

解答：解：（1）函数f(x)=

2x+3(x＜-1) x2(-1≤x≤1) x(x＞1).

的图象如图：
（2）令f（x）=-7，可得

x＜-1 2x+3=-7

，解得x=-5，
故当f（x）=-7时，x的值是-5．
（3）讨论关于x方程f（x）=a（a∈R）的根的个数，就等于函数y=f（x）的图象和直线y=a的交点的个数．
结合函数f（x）的图象可得，当a＜0时，y=f（x）的图象和直线y=a的交点的个数为1；
当 0＜a＜1时，y=f（x）的图象和直线y=a的交点的个数为3；
当a=0，或a=1时，y=f（x）的图象和直线y=a的交点的个数为2；
当a＞1时，y=f（x）的图象和直线y=a的交点的个数为1．
综上可得，当a＜0或a＞1时，方程f（x）=a（a∈R）的根的个数为1；当a=0，或a=1方程f（x）=a（a∈R）的根的个数为2；
当 0＜a＜1时，方程f（x）=a（a∈R）的根的个数为3．

点评：本题主要考查函数图象的作法，函数零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．