Question

14．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{2}x|，0＜x＜2}\\{sin\frac{πx}{4}，2≤x≤10}\end{array}\right.$，若存在实数x₁，x₂，x₃，x₄，满足x₁＜x₂＜x₃＜x₄，且f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），则$\frac{（{x}_{3}-2）（{x}_{4}-2）}{{x}_{1}{x}_{2}}$的取值范围是（0，12）．

Answer 1

分析 做出f（x）的函数图象，求出x₁，x₂，x₃，x₄的范围，根据对数函数的性质得出x₁x₂=1，利用三角函数的对称性得出x₃+x₄=12，代入式子化简得出关于x₃的二次函数，根据x₃的范围和二次函数的性质求出值域即可．

解答 解：作出函数f（x）的图象如图所示：

因为存在实数x₁，x₂，x₃，x₄，满足x₁＜x₂＜x₃＜x₄，且f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），
∴$\frac{1}{2}$＜x₁＜1，1＜x₂＜2，2＜x₃＜4，8＜x₄＜10，
∵-log₂x₁=log₂x₂，∴log₂$\frac{1}{{x}_{1}}$=log₂x₂，∴x₁x₂=1，
∵y=sin$\frac{πx}{4}$关于直线x=6对称，∴x₃+x₄=12，
∴$\frac{（{x}_{3}-2）（{x}_{4}-2）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₃-2）（x₄-2）=（x₃-2）（12-x₃-2）=-x₃²+12x₃-20=-（x₃-6）²+16，
令g（x₃）=-（x₃-6）²+16，则g（x₃）在（2，4）上是增函数，
∵g（2）=0，g（4）=12，
∴0＜g（x₃）＜12．
故答案为（0，12）．

点评 本题考查了分段函数图象的图象，对数函数，三角函数，二次函数的性质，属于中档题．