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已知f(x)=lnx,g(x)=
3
2
-
a
x
,(a∈R)

①若方程e2f(x)=g(x)在区间[
1
2
,1]
上有解,求a的取值范围;
②若函数h(x)=
1
2
x2-ax+(a-1)f(x)(a≥1)
,讨论函数h(x)的单调性.
分析:①由条件分离参数,可转化为a=
3
2
x-x3
x∈[
1
2
,1]
上有解,利用导数法求出函数的值域,即可得到结论;
②求导函数,比较根的大小,即可分类讨论,得到函数的单调性.
解答:解:①由由已知,x2=
3
2
-
a
x
x∈[
1
2
,1]
上有解,
a
x
=
3
2
-x2
x∈[
1
2
,1]
上有解
a=
3
2
x-x3
x∈[
1
2
,1]
上有解,
p(x)=
3
2
x-x3
x∈[
1
2
,1]
则 p′(x)=
3
2
-3x2=-3(x+
2
2
)(x-
2
2
)

∴函数p(x)在(
1
2
2
2
)上单调递增,在(
2
2
,1)上单调递减
p(x)max=p(
2
2
)=
2
2

p(
1
2
)=
5
8
,p(1)=
1
2
,∴p(x)min=p(1)=
1
2

a∈[
1
2
2
2
]
…(6分)
h′(x)=
[x-(a-1)](x-1)
x
,x∈(0,+∞)
(1)a=1时,递减区间(0,1),递增区间(1,+∞);
(2)1<a<2时,递增区间(0,a-1),(1,+∞),递减区间(a-1,1);
(3)a=2时,递增区间(0,+∞);
(4)a>2时,递增区间(0,1),
 (a-1,+∞)
,递减区间 (1,a-1)…(13分)
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值,考查分类讨论的数学思想,考查学生分析转化问题的能力,属于中档题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知f(x)=
lnx,x>0
x+2,x<0
,则f(x)>1
 的解集为(  )
A、(-1,0)∪(0,e)
B、(-∞,-1)∪(e,+∞)
C、(-1,0)∪(e,+∞)
D、(-∞,1)∪(0,e)

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知f(x)=lnx-
a
x

(I)当a>0时,判断f(x)在定义域上的单调性;
(II)若f(x)在[1,e](e是自然对数的底)上的最小值为
3
2
,求a的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2007•揭阳二模)已知f(x)=
lnx,(x>0)
ex.(x≤0)
(e=2.718…),则不等式f(x)-1≤0的解集为(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•惠州一模)已知f(x)=lnx,g(x)=
1
3
x3+
1
2
x2+mx+n
,直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切于点(1,0).
(1)求直线l的方程及g(x)的解析式;
(2)若h(x)=f(x)-g′(x)(其中g′(x)是g(x)的导函数),求函数h(x)的极大值.

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