【题目】如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.点E是CD边的中点,点F,G分别在线段AB,BC上,且AF=2FB,CG=2GB.
(1)证明:PE⊥FG;
(2)求二面角PADC的正切值;
(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2);(3)
.
【解析】试题分析:(1)通过△POC为等腰三角形可得PE⊥CD,利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论;
(2)通过(1)及面面垂直定理可得PG⊥AD,则∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角,利用勾股定理即得结论;
(3)连结AC,利用勾股定理及已知条件可得FG∥AC,在△PAC中,利用余弦定理即得直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线FG所成角∠PAC的余弦值.
(1)证明:在△POC中PO=PC且E为CD中点,
∴PE⊥CD,
又∵平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,PE平面PCD,
∴PE⊥平面ABCD,
又∵FG平面ABCD,
∴PE⊥FG;
(2)解:由(1)知PE⊥平面ABCD,∴PE⊥AD,
又∵CD⊥AD且PE∩CD=E,
∴AD⊥平面PDC,
又∵PD平面PDC,∴AD⊥PD,
又∵AD⊥CD,∴∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角,
在Rt△PDE中,由勾股定理可得:
PE==
=
,
∴tan∠PDC==
;
(3)解:连结AC,则AC==3
,
在Rt△ADP中,AP==
=5,
∵AF=2FB,CG=2GB,
∴FG∥AC,
∴直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线FG所成角∠PAC,
在△PAC中,由余弦定理得
cos∠PAC=
=
=.
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【题目】某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:A、B、C三地位于同一水平面上,在C处进行该仪器的垂直弹射,观测点A、B两地相距100米,∠BAC=60°,在A地听到弹射声音的时间比在B地晚
秒. A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°.
(1)求A、C两地的距离;
(2)求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)
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【题目】已知圆锥曲线的方程为
.
()在所给坐标系中画出圆锥曲线
.
()圆锥曲线
的离心率
__________.
()如果顶点在原点的抛物线
与圆锥曲线
有一个公共焦点
,且过第一象限,则
(i)交点的坐标为__________.
(ii)抛物线的方程为__________.
(iii)在图中画出抛物线的准线.
()已知矩形
各顶点都在圆锥曲线
上,则矩形
面积的最大值为__________.
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【题目】已知函数,则
()函数
定义域为__________.
()函数
导函数为
__________.
()对函数
单调研究如下
____
()设函数
则
函数的最大值为__________.
(5)函数极值点共__________个,(6)其中极小值点有__________个.
(7)若关于的方程
恰有三个不相同的实数解,则
的取值范围为__________.
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【题目】已知圆,圆心为
,定点
,
为圆
上一点,线段
上一点
满足
,直线
上一点
,满足
.
(Ⅰ)求点的轨迹
的方程;
(Ⅱ)为坐标原点,
是以
为直径的圆,直线
与
相切,并与轨迹
交于不同的两点
.当
且满足
时,求
面积
的取值范围.
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【题目】若直线和
是异面直线,
在平面
内,
在平面
内,
是平面
与平面
的交线,则下列结论正确的是( )
A. 至少与
,
中的一条相交 B.
与
,
都不相交
C. 与
,
都相交 D.
至多与
,
中的一条相交
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