Question

设圆O₁和圆O₂是两个相离的定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹可能是：
①两条双曲线；
②一条双曲线和一条直线；
③一条双曲线和一个椭圆．
以上命题正确的是（　　）

• A、①③
• B、②③
• C、①②
• D、①②③

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先确定圆P的圆心轨迹是焦点为O₁、O₂，且离心率分别是

2c

r1+r2

和

2c

|r1-r2|

的圆锥曲线，再分类说明对应的轨迹情况即可．

解答：解：设圆O₁和圆O₂的半径分别是r₁、r₂，|O₁O₂|=2c，则
一般地，圆P的圆心轨迹是焦点为O₁、O₂，且离心率分别是

2c

r1+r2

和

2c

|r1-r2|

的圆锥曲线．
当r₁=r₂时，O₁O₂的中垂线是轨迹的一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆；
当r₁=r₂且r₁+r₂＜2c时，圆P的圆心轨迹为一条双曲线和一条直线；
当0＜2c＜|r₁-r₂|时，圆P的圆心轨迹为两个椭圆；
当r₁≠r₂且r₁+r₂＜2c时，圆P的圆心轨迹为两条双曲线．
故选：C．

点评：本题考查圆与圆的位置关系，考查轨迹问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．