已知函数.
(1)当时,证明:当时,;
(2)当时,证明:.
(1)证明过程详见解析;(2)证明过程详见解析.
解析试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,将当时,转化为,对函数求导,利用单调递增,单调递减,来判断函数的单调性来决定函数最值,并求出最值为0,即得证;第二问,先将转化为且,利用导数分别判断函数的单调性求出函数最值,分别证明即可.
(1)时,,
令,,∴在上为增函数 3分
,∴当时,,得证. 6分
(2)
令,,时,,时,
即在上为减函数,在上为增函数 9分
∴ ①
令,,
∴时,,时,即在上为减函数,在上为增函数
∴ ②
∴由①②得 . 12分
考点:导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(14分)(2011•天津)已知函数f(x)=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1,x∈R,其中t∈R.
(Ⅰ)当t=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(Ⅱ)当t≠0时,求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)证明:对任意的t∈(0,+∞),f(x)在区间(0,1)内均存在零点.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数(其中),为f(x)的导函数.
(1)求证:曲线y=在点(1,)处的切线不过点(2,0);
(2)若在区间中存在,使得,求的取值范围;
(3)若,试证明:对任意,恒成立.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(2013•重庆)设f(x)=a(x﹣5)2+6lnx,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).
(1)确定a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
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